Une fonction de perte $L(z, y)$ est définie comme une pénalité scalaire comparant un score brut $z$ du modèle (ou une probabilité prédite $\hat{y}$) à la cible $y$. Plus elle est petite, mieux c'est. Chaque famille de modèles se caractérise par sa perte.

| Entropie croisée | $-\left[\,y\log\hat{y}+(1-y)\log(1-\hat{y})\,\right]$ | Réseaux de neurones |

*Remarque :* $z$ désigne un score brut tel que $w^T x$, tandis que $\hat{y} \in (0,1)$ désigne une probabilité prédite, l'estimation par le modèle de l'étiquette $y$. La ligne d'entropie croisée prend une probabilité $\hat{y}$, non un score brut.


Le coût $J(w)$ est défini comme la somme des pertes par exemple sur tout l'ensemble d'entraînement de $m$ exemples :

$$\boxed{\,J(w)=\sum_{i=1}^{m} L\!\left(h_w(x^{(i)}),\,y^{(i)}\right)\,}$$

Entraîner un modèle, c'est choisir $w$ qui minimise $J(w)$. Les algorithmes qui effectuent cette minimisation (formes fermées, descente de gradient) arrivent avec les modules de modèles. Ce module pose une autre question : que prouve réellement une petite valeur de $J(w)$ ?

Pour rendre tout cela concret, prenons une entrée unique $x$ et ajustons un polynôme de degré $d$ sous la perte quadratique :

$$\boxed{ h_w(x) = w^T \phi(x) = \sum_{j=0}^{d} w_j\, x^{j}, \qquad \phi(x) = (1, x, x^2, \dots, x^d) }$$

Le modèle reste linéaire en $w$, les moindres carrés s'appliquent donc tels quels (la forme fermée est dérivée dans [Régression linéaire](/fr/Machine%20Learning/04%20Linear%20regression)). Le degré $d$ n'est pas ajusté avec $w$ : il est fixé avant l'ajustement et décide de la flexibilité permise à la courbe. Un tel bouton, choisi plutôt qu'appris, s'appelle un hyperparamètre, et $d$ est notre premier.


La quantité qui nous intéresse est l'erreur de généralisation, la perte espérée sur un nouveau tirage de la même population :

$$\boxed{ R(h) = \mathbb{E}_{(x, y)}\left[ L\!\left(h(x), y\right) \right] }$$

On ne peut pas l'observer, il faut donc l'estimer. L'estimation tentante est l'erreur d'entraînement, la perte moyenne sur les données ayant servi à ajuster $h$. Elle est biaisée vers le bas : le modèle s'est déjà adapté à cet échantillon précis, il se juge donc trop favorablement.

$$\boxed{ \hat{R}_{\text{train}}(h) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} L\!\left(h(x^{(i)}), y^{(i)}\right) \;\le\; R(h) \ \text{(en espérance)} }$$

Revenons aux polynômes. L'ajustement de degré 1 sous-apprend : il n'a pas la capacité de représenter la tendance, il est donc mauvais sur les points d'entraînement comme sur les nouveaux. L'ajustement de degré 9 surapprend : il a de la capacité à revendre, pousse l'erreur d'entraînement à zéro en épousant le bruit, et le paie sur des données fraîches. Il a la plus petite erreur d'entraînement des trois ajustements et c'est aussi le pire modèle. Le bon modèle se situe entre les deux.


C'est le compromis biais-variance. Un modèle rigide est biaisé : il se trompe systématiquement, quel que soit l'échantillon d'entraînement. Un modèle flexible a une forte variance : son ajustement change à chaque nouveau tirage du bruit. Augmenter la capacité échange du biais contre de la variance, et la généralisation est la meilleure là où les deux s'équilibrent.

*Remarque :* l'erreur d'entraînement n'est pas une preuve de qualité. Passé le point d'équilibre, c'est une preuve de mémorisation, et seule la performance sur des données jamais vues fait la différence.

Choisir le degré est un réglage grossier : la capacité saute d'entier en entier. Un contrôle plus fin garde une famille flexible mais rend la complexité coûteuse dans le coût lui-même, en ajoutant une pénalité $\Omega(w)$ mise à l'échelle par une intensité $\lambda \ge 0$ :

$$\boxed{\,J_\lambda(w)=\sum_{i=1}^{m} L\!\left(h_w(x^{(i)}),\,y^{(i)}\right) + \lambda\,\Omega(w)\,}$$

Le choix classique est la norme au carré $\Omega(w) = \lVert w \rVert_2^2$, la pénalité ridge. L'ajustement de degré 9 ne se faufile par chaque point qu'à l'aide de coefficients énormes qui se compensent entre les points d'entraînement. La pénalité rend ces coefficients coûteux, le minimiseur échange donc un peu d'erreur d'entraînement contre une courbe bien plus lisse. À $\lambda = 0$ le surapprentissage revient, quand $\lambda \to \infty$ la courbe s'aplatit vers le sous-apprentissage : $\lambda$ parcourt le même cadran biais-variance que le degré, mais continûment.

*Remarque :* la régularisation ne décide pas de la bonne complexité à votre place, elle convertit un choix discret ($d$) en un choix continu ($\lambda$) plus facile à régler. $\lambda$ est un hyperparamètre comme le degré, choisi par la machinerie de validation de la section suivante. D'où vient la pénalité (un a priori sur $w$, via le maximum a posteriori) et ce qu'apporte la variante L1 sont les sujets de [Formulation probabiliste](/fr/Machine%20Learning/03%20Probabilistic%20formulation) et de la [Régression linéaire](/fr/Machine%20Learning/04%20Linear%20regression).

Les hyperparamètres ne peuvent pas être choisis sur l'erreur d'entraînement, qui ne récompense que davantage de capacité. La parade consiste à garder des données que le modèle n'a jamais vues pendant l'ajustement. La séparation standard a trois rôles disjoints :

| Ensemble | Sert à | Consulté |

*Remarque :* l'ensemble de test est sacré. Chaque fois qu'un choix est guidé par la performance de test, celui-ci devient discrètement partie de l'entraînement et son estimation devient optimiste.

Les jeux de données sont souvent petits, et une unique séparation entraînement/validation gaspille des données tout en donnant une estimation bruitée. La validation croisée à $K$ blocs réutilise les données : on partitionne en $K$ blocs, et pour chaque bloc on entraîne sur les $K-1$ autres et on valide sur le bloc mis de côté. L'erreur de validation croisée moyenne les $K$ tours :

$$\boxed{ \text{VC}_K = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K} \frac{1}{|F_k|}\sum_{i \in F_k} L\!\left(h^{(-k)}(x^{(i)}), y^{(i)}\right) }$$

où $h^{(-k)}$ est entraîné sur tous les blocs sauf $F_k$. Prendre $K = m$ donne la validation croisée « un contre tous ». Les choix courants sont $K = 5$ ou $K = 10$, un compromis entre calcul et variance de l'estimation.


La validation croisée est notre outil de réglage. On ajuste chaque candidat (une famille de modèles, une profondeur d'arbre, le degré polynomial $d$, ou la pénalité $\lambda$) et on garde celui dont l'erreur de validation est la plus faible. Ce n'est qu'ensuite, une fois le choix figé, que l'on consulte l'ensemble de test pour rapporter un chiffre final.

*Remarque :* choisir le gagnant sur l'ensemble de test gonfle l'estimation. Avec assez de candidats, l'un paraîtra bon par pur hasard, c'est la malédiction du vainqueur, donc sélection et évaluation finale doivent utiliser des données différentes.

Une validation honnête est plus difficile qu'il n'y paraît, et les données réelles brisent souvent les hypothèses habituelles de trois façons.

- **Fuite de données.** De l'information sur la cible se glisse dans les variables. Standardiser avec des statistiques calculées sur tout l'échantillon, ou inclure une variable réalisée après le résultat, laisse le modèle entrevoir la réponse. Tout prétraitement doit être ajusté sur les seuls blocs d'entraînement.

Pour les séries temporelles, on utilise un schéma à origine glissante (par blocs) de sorte que le modèle ne soit testé que sur des données postérieures à sa fenêtre d'entraînement. Pour les données groupées, on met de côté des unités entières (validation croisée groupée) afin qu'aucune unité n'apparaisse des deux côtés.


*Remarque :* c'est pourquoi l'apprentissage en grande dimension s'appuie sur de la structure plutôt que sur la proximité brute : modèles linéaires, régularisation tirant vers des ajustements simples, et variables ou plongements qui compressent les entrées. Les données réelles se concentrent en général près d'une structure de dimension bien plus faible, et c'est ce qui rend l'apprentissage possible.

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